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testi del compito in classe 26-01-09

LICEO SCIENTIFICO   “ CAVOUR”

COMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA        CLASSE 3D durata della prova 2ore

COMPITO A

In un riferimento cartesiano Oxy sono date:

· L’ellisse di equazione x2+4y2=32 , di cui si chiede l’eccentricità

· La circonferenza di equazione x2+y2=20 di cui si chiedono le tangenti uscenti dal punto P(0;2)

a) Dopo aver disegnato le due curve, determinarne i punti comuni e  calcolare il perimetro del rettangolo R da essi individuato.

b) Verificare che esiste un  secondo rettangolo R’inscritto nell’ellisse avente lo stesso perimetro e determinarne i vertici.

c) Scrivere le equazioni delle  rette su cui giacciono le due diagonali di R indicando con d1 quella di coefficiente angolare positivo e con d2 quella di coefficiente angolare negativo.

d) Scrivere le equazioni delle rette tangenti rispettivamente all’ellisse e alla circonferenza, in ciascuno dei quattro punti di intersezione.

e) Scrivere l’equazione della parabola ( con asse verticale) tangente in O alla retta d2 e passante per il vertice di R che appartiene al primo quadrante.

 

 

COMPITO B

 

In un riferimento cartesiano Oxy  sono dati il punto A(2,0) e la retta t di equazione  x+3y=0

a) Scrivere l’equazione della parabola e della circonferenza  entrambe passanti per A e tangenti nell’origine alla retta t

b) Detta B l’ulteriore intersezione della circonferenza con l’asse y e C il suo centro, verificare che i punti A,B e C sono allineati e determinare l’equazione della retta  r cui appartengono

c) Determinare il punto D di intersezione tra t ed r e calcolare l’area del triangolo OBD..

d) Nel fascio di rette parallele a t distinguere le rette tangenti, esterne, secanti rispetto alla parabola  e determinare quella che intercetta una corda lunga 4√10.

e) Scrivere l’equazione dell’ellisse avente il centro in A, un vertice in O e un fuoco nel punto F di coordinate (2,2)

 

 

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Questionario di fisica

QUESTIONARIO sul moto in due dimensioni

Motivare sempre le risposte

A)Una biglia si muove su un pavimento orizzontale liscio, in cui è stato fissato un sistema di riferimento come indicato in figura.

Il pavimento è praticamente un quadrato di lato 6m

La posizione istantanea della biglia è determinata dalle equazioni ( equazioni parametriche  della traiettoria)

x= 1,5 t

y =2 t

 

dove t è il tempo misurato in secondi, x ed y  rappresentano gli spostamenti,  rispettivamente orizzontale e verticale , misurati in metri.

1)Dove si trova  la biglia  0,5 secondi dopo la partenza dall’origine?

In quale istante si trova in una posizione di ascissa 3?

In quale istante si trova in una posizione di ordinata 3?

rif

2) Scrivi l’equazione(cartesiana) della traiettoria della biglia e verifica  che si tratta di una retta di cui si chiede ll grafico.

Qual è il legame tra il coefficiente angolare della suddetta retta e le due componenti della velocità?

Riporta sulla traiettoria le tre posizioni determinate nel punto 1.

In che punto la traiettoria della biglia incontra i bordi del pavimento? In quale precisa posizione?

3) Quanto tempo  dura il movimento della biglia  prima di essere interrotto dall’urto sui bordi?

Quale distanza complessiva percorre?

4) Disegna un vettore che rappresenta la velocità della biglia.

Durante il moto cambia il modulo del vettore velocità? Cambia la direzione o il verso?

Qual è il valore la velocità scalare media?

B) Una barca attraversa un fiume con la velocità di 3 m/s rispetto all’acqua, (perpendicolae all’acqua)  in presenza di una corrente  che ha velocità 2m/s. La distanza tra le due sponde è di 600m.

In un opportuno sistema di riferimento:

1) Scrivere le equazioni parametriche della traiettoria della barca ( in funzione del tempo)

2) Scrivere l’equazione cartesiana della traiettoria e disegnarne il grafico

3) Calcolare quanto tempo impiega la barca ad arrivare sull’altra sponda e le coordinate del punto di arrivo.

4) Calcolare la distanza complessivamente percorsa dalla barca e la sua velocità scalare media

5) Calcolare il tempo impiegato in assenza di corrente

C) ) Una barca attraversa un fiume largo 60 m con la velocità di 3 m/s rispetto all’acqua.

A causa della  i corrente  giunge sull’altra sponda spostata di  30 metri , verso valle, rispetto alla posizione di partenza.

Qual è il valore della velocità della corrente?

D) Un proiettile descrive la traiettoria parabolica rappresentata in figura-

1)Lo spostamento complessivo è

il vettore

l’arco di parabola OA

Altro

La distanza percorsa è

La lunghezza del segmento OA

La lunghezza l’arco di    parabola    OA

Altro

trai1

2)  L’ampiezza dell’angolo di lancio è

30°

45°

60°

Non ci sono elementi sufficienti per rispondere.

E) Le equazioni parametriche della traiettoria di un proiettile sono

 

x= 10t

y=10t-1/2 g t^2

in un rifermento Oxy analogo a quello del quesito precedente ( l’origine coincide col punto di lancio)

1) Disegna la traiettoria del proiettile e determina l’altezza massima raggiunta

2) Dove si trova il proiettile  dopo  0,5 secondi?

3) Dopo quanto tempo e in quale posizione ritorna alla quota iniziale?

4) Se dovesse colpire un albero  distante  x= 15 m, a quale quota lo colpirebbe?

5) Qual è il valore del modulo della velocità nel punto O, nel punto di massima altezza e nel punto di arrivo alla quota iniziale?

6) Qual è il valore del modulo dell’accelerazione  nel punto O, nel punto di massima altezza e nel punto di arrivo alla quota iniziale?

F) Un punto materiale descrive una circonferenza che, in un opportuno  riferimento, ha equazione  x^2+y^2=1

compiendo un giro completo in 5 secondi.

  1. Se la  posizione iniziale è  A(1,0), dove si troverà dopo 8 secondi ?
  2. Qual è il modulo dello spostamento? E la distanza percorsa?
  3. Disegna il vettore velocità e il vettore accelerazione nel punto iniziale e nel punto finale
  4. Se un altro punto parte contemporaneamente dalla posizione B(0,1) e si muove nello stesso verso con periodo 10 secondi, in quale istante si incontreranno la prima volta?

G)Due punti della stessa ruota si trovano a distanza R/2 e R/4   rispettivamente.

Confronta:

1. le due velocità periferiche

2. le due velocità angolari

l

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Soluzioni compito A (matematica 3D 11-12-08)

TESTO

COMPITO A

Fascio di parabole di vertice V : y=a(x+1)^2+9

Imponiamo il passaggio per  A

0=9a+9 a =-1

Equazione di G y=-x^2-2x+8

Equazione di G’ y= -x^2+2x +8     si ottiene con la sostituzione

x’=-x

y’=y

B(2;0)                   C(0;8)

 

par6

Imponiamo alla generica retta del fascio di centro B  , di equazione     y= mx+8, di incontrare

G in due punti reali e coincidenti

Si imposta il sistema

y=-x^2-2x+8

y=mx+8

 

L’equazione risolvente ammette due radici coincidenti (uguali a 0) per m=.2

Equazione della retta t y=-2x+8

D è il punto (4;0)

Il triangolo ADC è isoscele sulla base AD in quanto l’altezza  CO è anche mediana

Per determinare il punto P(x,y), imponiamo la condizione  y-x = 5/4 e  anche l’appartenenza a G, ricordando che deve essere compreso nell’arco AB, quindi

-4<x<4

y>0

Risolviamo il sistema

 

 

L’equazione risolvente ammette due soluzioni

x1=3/2              x2= -9/2   ma solo  la prima è accettabile   P(3/2;11/4)

 

La risoluzione del sistema ammette la seguente interpretazione geometrica

par7

 

Intersezioni  tra G e la retta di equazione y= x- 5/4.

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Soluzioni compito B (matematica3D 11-12-08)

TESTO

COMPITO B

Per determinare le equazioni delle due parabole , del tipo         y=ax^2+bx+c

imponiamo le condizioni assegnate e risolviamo due sistemi

 

c=0                                      c=0

-b/2a =1                                   -b/2a=2

9a+3b=3                                9a+3b=3

Il primo ammette le soluzioni  a=1   b=-2   c=0

 

Che individuano la parabola   di equazione y =x2-2x

Il secondo sistema ammette le soluzioni

a=-1    b=4      c=0

che corrispondono alla parabola di equazione y= -x2+4x

I rispettivi vertici sono V(1,-1)   V’(2,4)

par8

Le due parabole hanno lo stesso valore  di |a| = 1 , quindi in entrambe la distanza fuoco – vertice è uguale a    mentre la distanza fuoco-direttrice  è uguale  al doppio, cioè 1/2

Per verificare che il quadrilatero OPVV’ è un parallelogrammo  si può verificare

Che i lati opposti sono a due a due uguali

Che i lati opposti sono a due a due paralleli

Che una coppia di lati opposti sono uguali e paralleli

Che le due diagonali si incontrano nel punto medio

Qust’ultima proprietà è verificata  facilmente determinando il punto medio di AP  e di VV’.

In entrambi i casi si trova M(3/2;3/2)

La retta tangente in O si determina imponendo alla  generica retta y=mx  di incontrare la prima  parabola in due punti reali e coincidenti

 

m=-2   Analogamente troviamo la tangente in P  alla seconda parabola                                                                                                                                                     

→m= -2

Le due rette tangenti sono  parallele

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Soluzioni compito C (matematica 3D 11-12-08)

TESTO

COMPITO C

La parabola ha per asse di simmetria l’asse y  e incontra quest’ultimo  in un punto di ordinata 4, quindi  la sua equazione si presenta nella forma y =ax2+4

Il parametro a può essere determinato  conoscendo la distanza fuoco-vertice , 1/4a =-1.

Equazione della parabola :

2) Consideriamo il fascio di rette di centro P  y=mx+5 e studiamo le intersezioni tra la generica  retta e la parabola

Troviamo l’equazione risolvente  e studiamo il segno del  discriminante ∆=m^2-1

∆>0  per m<-1   vel  m>1( rette secanti)

∆<0  per -1<m<1( rette esterne)

∆=0   per m=1   vel m=1

Le due rette tangenti hanno equazione y=x +5   y= -x +5 e sono tra  loro perpendicolari

Risolvendo il sistema si trovano i due punti di tangenza

M(-2,3)     N(2,3)

La retta  che congiunge M ed N  è la retta di equazione y=3, che contiene anche il punto F

Il triangolo MNP è isoscele  poiché l’asse y è asse di simmetria, rettangolo perché, come abbiamo osservato, le rette PM e PN sono tra loro perpendicolari

 

par9

y= -1/4 x^2  +4

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SOLUZIONI COMPITO D (matematica 3D-11-12-08)

d

TESTO

COMPITO D

La parabola ha per asse l’asse y e la sua equazione avrà la forma y= a x2+c

I parametri dell’equazione possono essere determinati  con l’aiuto di considerazioni geometriche, ricordando che  la distanza vertice-fuoco  equivale a  1/4a

Il vertice deve appartenere all’asse  y  e deve essere equidistante dal fuoco e dalla direttrice, pertanto le sue coordinate sono (0;4) , quindi c=4

La distanza VF  è uguale a- ¼,   pertanto a = -1

Equazione della parabola y=-x2+4

I punti di incontro con l’asse x sono  A(-2;0)  e  B(2;0)

Le due rette tangenti richieste sono tra loro simmetriche rispetto all’asse y, quindi è sufficiente determinarne una, per esempio quella che passa per A

Imponiamo alla generica retta del fascio di rette  y= m(x+2) di incontrare la parabola in due punti coincidenti

Troviamo l’equazione risolvente  e imponiamo che il discriminante sia nullo

 

La prima tangente ha equazione y = 4x+8, la seconda avrà coefficiente angolare -4 e passerà per B

Y=-4x+8

C(0;8)

Le due normali hanno equazione   Y=-1/4 (x+2)     y = ¼(x-2)  e si incontrano nel punto D(0,-1/2)

I segmenti FC, FA, FB, FD hanno tutti e tre lunghezza 17/4

Gli stessi segmenti possono essere considerati le basi dei triangoli AFC, BFC, AFD. BFD e poiché le altezze relative corrispondono ai segmenti  congruenti OA e OB, i triangoli hanno  uguale area

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Testi del compito di Matematica (3D) 11-12-08

Liceo scientifico “Cavour”

Compito di Matematica per la classe 3D  Durata della prova 1 ora

In un sistema di riferimento  cartesiano Oxy scrivere l’equazione della parabola G con asse parallelo all’asse y avente il vertice nel punto

V(-1;9) e passante per il punto A(-4;0) e della parabola G’, simmetrica di G rispetto all’asse y.

Detto B l’ulteriore punto di intersezione di G con l’asse x e C l’intersezione con l’asse y:

a)determinare la retta tangente  t in C a G

b)indicata  con D l’ intersezione di t con l’asse x, verificare che il triangolo ACD è isoscele

c)sull’arco AB di G determinare un punto P per il quale sia 5/4 la differenza tra l’ordinata e l’ascissa

Liceo scientifico “Cavour”

Compito di Matematica per la classe 3D  Durata della prova 1 ora

Scrivere le equazioni delle due parabole passanti per l’origine degli assi cartesiani e per il punto P di coordinate (3;3) e aventi i vertici V e V’ rispettivamente sulle rette x=1 e x=2.

Verificare che la distanza fuoco- direttrice è la stessa nelle due parabole

Verificare che il quadrilatero OVPV’  è un parallelogramma Scrivere l’equazione della retta tangente in O alla prima parabola e verificare che è parallela alla tangente in P alla seconda parabola

Liceo scientifico “Cavour”

Compito di Matematica per la classe 3D  Durata della prova 1 ora

In un riferimento cartesiano Oxy sono dati i punti F(0;3) ,  V(0;4)e P(0;5).

1) Scrivere l’equazione  della parabola avente il fuoco in F e il vertice  in V e disegnarla

2) Tra le rette del fascio di centro P distinguere quali sono secanti e quali esterne alla parabola e determinare le equazioni delle due tangenti.

Detti M ed N i punti di tangenza verificare che

  • M , F ed N sono allineati
  • Il triangolo PMN è rettangolo isoscele

Liceo scientifico “Cavour”

Compito di Matematica per la classe 3D  Durata della prova 1 ora

In un riferimento cartesiano Oxy scrivere l’equazione della parabola avente il fuoco nel punto F(0;15/4) e per direttrice la retta y=17/4 .

Disegnare la parabola dopo averne determinato il vertice  ed i punti A e B in cui incontra l’asse x

Scrivere le equazioni delle due rette t1 e t2, tangenti alla parabola in A  e in B rispettivamente e si indichi con C il loro punto di incontro.

Dai due punti di tangenza si traccino le rispettive perpendicolari a t1 e a t2  e si indichi con D il loro punto di incontro.

Verificare  che :

F è equidistante da A, da B e da C e da D .

I triangoli AFC, BFC, AFD. BFD hanno uguale area.

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