Archivi del mese: agosto 2010

GEOGEBRA: esercitazione su un problema di maturità

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IN QUESTA ESERCITAZIONE:

  • costruzione di un triangolo di  lati in progressione aritmetica di ragione variabile
  • determinazione del massimo valore del raggio  della  circonferenza inscritta
  • uso dello slider
  • uso del testo dinamico
  • uso dello strumento “  Traccia attiva”

PROBLEMA 1   suppletivaPNI2001

Le misure a, b, c dei lati di un triangolo ABC sono in progressione aritmetica di ragione k.

a)      Si esprima, in funzione di k, il raggio r della circonferenza inscritta nel triangolo;

b)      si stabilisca il valore di k per il quale r è massimo;

c )      si fissi nel piano del triangolo un conveniente sistema di assi cartesiani , ortogonali e monometrici, e, per il valore di k determinato in b), si scrivano le coordinate dei vertici del triangolo ABC nonché le equazioni delle circonferenze, inscritta e circoscritta, ad ABC;

d)      si calcoli il rapporto tra i volumi delle due sfere di cui le circonferenze, inscritta e circoscritta, sono sezioni diametrali.

RISOLUZIONE  dei punti a) e b) CON L’AIUTO DI GEOGEBRA

FIGURA E PROTOCOLLO DI COSTRUZIONE

Si costruisce lo slider  k >0

Fissato il lato AC  di lunghezza   b, si costruiscono  :

  • la circonferenza di centro A e raggio  b-k
  • la circonferenza di centro C e raggio  b+k
  • i punti comuni alle due circonferenze, uno dei quali è indicato con  B
  • il triangolo ABC

Le circonferenze sono secanti se  e solo se la distanza fra i due centri è minore della somma dei raggi e maggiore della loro differenza:

2k < b < 2b→   k< b/2

Per k = 0 si ha un triangolo equilatero

La figura  non si può costruire  se  k ≥1   (ovvero k≥b/2)

Al crescere di k r decresce → valore massimo per k=0

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